杭 州 师 范 大 学
2018 年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码： 817
考试科目名称： 高等代数
说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。
每题15分，共150分
1. 将多项式分别在实数域与复数域上分解成不可约多项式的乘积。
2. 设与的最大公因式是一个二次多项式，求的值。
3. 求下列行列式的值：。
4. 讨论：当取何值时，二次型是正定二次型。
5. 已知，，，都是线性方程组
①
的解向量。
（1）求的一个极大无关组。
（2）判断（1）中所求得的极大无关组是否是方程组①的一个基础解系；若不是，将其扩充成方程组①的一个基础解系。
6. 设A是n阶方阵，证明：（其中表示A的伴随矩阵）。
7. 设是n个实数，A是n阶方阵。
（1）若是A的特征根，试证是属于的特征向量；
（2）若已知A有n个两两互异的特征根，求可逆阵P，使得是对角阵。
8. 设为有限维欧氏空间V上的正交变换。令
。
证明：（1）和都是V的线性子空间；（2）。
9. 设为实数域上次数小于4的多项式构成的向量空间，定义上二元运算如下
，
证明：
（1）上述二元运算是上的内积；
（2）求在上述内积下，欧氏空间的一组规范正交基。
10. 设V是全体2阶实方阵构成的向量空间，定义V到V的映射：
，其中。
（1）证明：是V上的线性变换；
（2）当时，分别求的核和像的基和维数。
